Номер 1254 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

Рассмотрим три случая.

1) Прямые совпадают. Подойдёт отображение, оставляющее каждую точку на месте: это движение (задача 1247).

2) Прямые пересекаются в точке $O$.

Проведём прямую $p$, содержащую биссектрису одного из углов между $a$ и $a_1$. Докажем, что осевая симметрия с осью $p$ отображает $a$ на $a_1$.

— Отметим на прямой $a$ точку $M$, а на прямой $a_1$ — точку $M_1$ на стороне того же угла так, чтобы $O{M}_1=OM$.

— Треугольник $OM{M}_1$ равнобедренный, $OK$ — его биссектриса, а значит, высота и медиана. Поэтому $p$ — серединный перпендикуляр к отрезку $M{M}_1$, и точки $M$ и $M_1$ симметричны относительно $p$.

— Точка $O$ лежит на оси $p$ и остаётся на месте. Прямая $a$ проходит через $O$ и $M$, а движение отображает прямую на прямую, поэтому её образ проходит через $O$ и $M_1$ — это прямая $a_1$.

3) Прямые параллельны.

Отметим на прямой $a$ точку $M$, опустим из неё перпендикуляр $MK$ на прямую $a_1$ и проведём прямую $p$ через середину $H$ отрезка $MK$ параллельно $a$.

— $MK\perp a_1$ и $a\parallel a_1$, поэтому $MK\perp a$, а так как $p\parallel a$, то $MK\perp p$. Значит, $p$ — серединный перпендикуляр к $MK$, и осевая симметрия с осью $p$ отображает $M$ в $K$.

— По задаче 1240 а) прямая $a$, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси. Эта прямая проходит через $K$, а через $K$ проходит единственная прямая, параллельная $p$ (это $a_1$, так как $a_1\parallel a\parallel p$). Значит, $a$ отображается на $a_1$.

Во всех случаях искомое движение существует.