Номер 1253 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Напомним определение: две фигуры называются симметричными относительно прямой (точки), если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры, и обратно.

а) Верно. Пусть $F$ и $F_1$ симметричны относительно точки $O$. Каждая точка фигуры $F$ симметрична относительно $O$ некоторой точке фигуры $F_1$, и обратно. Значит, $F_1$ состоит ровно из точек, симметричных точкам фигуры $F$ относительно $O$, то есть получена из $F$ центральной симметрией с центром $O$.

б) Верно. В определении симметричных фигур $F$ и $F_1$ равноправны: каждая точка $F$ симметрична некоторой точке $F_1$, и обратно. Значит, $F$ состоит ровно из точек, симметричных точкам фигуры $F_1$ относительно $p$, то есть получена из $F_1$ осевой симметрией с осью $p$.

в) Неверно. Контрпример: возьмём разносторонний треугольник $ABC$ и сдвинем его параллельным переносом на ненулевой вектор $\vec{a}$. Перенос — движение, и мы получили треугольник $A_1{B}_1{C}_1$ (рисунок).

Допустим, что треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ симметричны относительно некоторой прямой $p$.

1) Осевая симметрия — движение: она отображает треугольник $ABC$ на $A_1{B}_1{C}_1$ и сохраняет длины сторон. Стороны треугольника $ABC$ попарно различны, поэтому каждая вершина переходит в соответствующую: $A\to A_1$, $B\to B_1$, $C\to C_1$.

2) Значит, $p$ — серединный перпендикуляр к отрезкам $A{A}_1$, $B{B}_1$, $C{C}_1$, и середины этих отрезков лежат на прямой $p$.

3) Но $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{C{C}_1}=\vec{a}$, поэтому середины отрезков получаются из точек $A$, $B$, $C$ сдвигом на вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$. Это вершины треугольника, равного $ABC$, — они не лежат на одной прямой.

4) Противоречие. Следовательно, $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ не симметричны относительно прямой, хотя $A_1{B}_1{C}_1$ получен из $ABC$ движением. Утверждение в) неверно.