Номер 1257 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Фигура $P$ равна фигуре $Q$, если $P$ можно совместить наложением с $Q$. Наложение — это движение, и любое движение является наложением (п. 124). Поэтому $P=Q$ означает: существует движение, отображающее $P$ на $Q$.

Доказательство:

а) Пусть движение $f$ отображает $P$ на $Q$. Определим отображение $f^{-1}$: каждой точке $N$ плоскости оно ставит в соответствие ту точку $X$, которая при $f$ переходит в $N$. Такая точка есть, потому что $f$ отображает плоскость на себя, и она единственна, потому что разные точки имеют разные образы.

Для точек $N_1$, $N_2$ и их прообразов $X_1$, $X_2$ выполнено $N_1{N}_2=X_1{X}_2$ (движение $f$ сохраняет расстояния). Значит, $f^{-1}$ тоже сохраняет расстояния, то есть является движением. Оно отображает $Q$ на $P$. Следовательно, $Q=P$.

б) Пусть движение $f$ отображает $P$ на $Q$, а движение $g$ отображает $Q$ на $R$. Последовательное выполнение $f$ и $g$ — движение (задача 1255), оно отображает $P$ на $R$. Следовательно, $P=R$.