Номер 1259 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ:

При параллельном переносе на вектор $\vec{p}$ каждая точка $X$ отображается в такую точку $X_1$, что $\overrightarrow{X{X}_1}=\vec{p}$ (п. 125). Перенос — движение, а при движении треугольник отображается на треугольник (п. 124), причём вершины — в образы вершин. Значит, достаточно построить образы точек $A$, $B$, $C$.

а) Перенос на вектор $\overrightarrow{M{M}_1}$:

1) Через вершину $A$ проведём прямую, параллельную $M{M}_1$, и отложим на ней от точки $A$ в направлении вектора $\overrightarrow{M{M}_1}$ отрезок $A{A}_1=M{M}_1$.

2) Так же построим точки $B_1$ и $C_1$: $B{B}_1\parallel M{M}_1$, $B{B}_1=M{M}_1$, $C{C}_1\parallel M{M}_1$, $C{C}_1=M{M}_1$, направления те же.

3) Соединим точки $A_1$, $B_1$, $C_1$. Треугольник $A_1{B}_1{C}_1$ искомый.

Доказательство:

По построению $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{C{C}_1}=\overrightarrow{M{M}_1}$, то есть точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — образы вершин при переносе на вектор $\overrightarrow{M{M}_1}$. Перенос — движение, поэтому треугольник $ABC$ отображается на треугольник $A_1{B}_1{C}_1$, равный данному.

б) Перенос на вектор $\vec{a}$:

Построение то же: $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{C{C}_1}=\vec{a}$. Так как $\vec{a}\parallel AC$, прямая, проходящая через $A$ параллельно $\vec{a}$, — это прямая $AC$, поэтому точки $A_1$ и $C_1$ лежат на прямой $AC$, и сторона $A_1{C}_1$ лежит на той же прямой, что и $AC$. Вершина $B_1$ строится как обычно: $B{B}_1\parallel \vec{a}$, $\overrightarrow{B{B}_1}=\vec{a}$. Здесь вектор $\vec{a}$длиннее стороны $AC$, поэтому треугольники не пересекаются. Равенство $ABC=A_1{B}_1{C}_1$ следует из того, что перенос — движение.