Номер 1265 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

1) В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ }$. Биссектрисы $AD$ и $BD$ делят углы $A$ и $B$ пополам: $\angle DAB=\angle DBA=30^{\circ }$. Значит, треугольник $ADB$ равнобедренный: $DA=DB$ и $\angle ADB=180^{\circ }-30^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }$.

2) Так же $DB=DC$, $\angle BDC=120^{\circ }$ и $DC=DA$, $\angle CDA=120^{\circ }$. Итак, $DA=DB=DC$, а три угла по $120^{\circ }$ дают в сумме $360^{\circ }$, поэтому лучи $DA$, $DB$, $DC$ расположены вокруг точки $D$ друг за другом (на рисунке — против часовой стрелки).

3) Повернём плоскость вокруг $D$ на $120^{\circ }$ в направлении от луча $DA$ к лучу $DB$. Точка $A$ перейдёт в точку, лежащую на луче $DB$ на расстоянии $DA$ от $D$, то есть в точку $B$ (так как $DB=DA$). Аналогично $B$ перейдёт в $C$, а $C$ — в $A$.

4) Поворот — движение, при нём отрезок отображается на отрезок: $AB\to BC$, $BC\to CA$, $CA\to AB$. Значит, весь треугольник $ABC$ отображается на себя.