Номер 1277 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Ответ: нет. Докажем больше: у многоугольника не может быть двух различных центров симметрии.

Допустим, $O_1$ и $O_2$ — различные центры симметрии многоугольника $F$. Возьмём любую его точку $X$, построим точку $X_1$, симметричную $X$ относительно $O_1$, и точку $X_2$, симметричную $X_1$ относительно $O_2$. Каждая из двух симметрий отображает $F$ на себя, поэтому $X_1$ и $X_2$ лежат в $F$.

Найдём вектор $\overrightarrow{X{X}_2}$. Так как $O_1$ — середина $X{X}_1$, а $O_2$ — середина $X_1{X}_2$:

(векторы $\overrightarrow{X{O}_1}$ и $\overrightarrow{X_1{O}_1}$ противоположны, их сумма равна нулю). Итак, $\overrightarrow{X{X}_2}=\vec{v}$, где $\vec{v}=2\overrightarrow{O_1{O}_2}\ne \vec{0}$: две симметрии подряд сдвигают точку на один и тот же ненулевой вектор, и она остаётся в $F$.

Повторим то же для точки $X_2$: она лежит в $F$, значит, и точка $X_3$, сдвинутая ещё на $\vec{v}$, лежит в $F$. Продолжая, получим точки $X_k$ ($k=1,2,3,\dots$) многоугольника $F$, для которых $X{X}_k=k\cdot |\vec{v}|$.

Но многоугольник ограничен: расстояние между любыми двумя его точками не больше наибольшего расстояния $D$ между его вершинами. При $k>D/|\vec{v}|$ получаем $X{X}_k>D$ — противоречие.

Значит, у многоугольника не может быть двух разных центров симметрии, в частности, ровно двух. Центров у него либо нет, либо один.