Номер 1285 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ:

Пусть $ABCD$ — искомый квадрат, точка $M$ лежит на прямой $AB$, а $N$ — на прямой $CD$. Поворот на $180^{\circ }$ вокруг центра $O$ (центральная симметрия) отображает квадрат на себя и меняет местами противоположные стороны, поэтому прямую $CD$ переводит в прямую $AB$. Значит, точка $N_1$, симметричная $N$ относительно $O$, лежит на прямой $AB$, и на этой прямой лежат две известные точки: $M$ и $N_1$.

Построение:

1) Построим точку $N_1$, симметричную $N$ относительно $O$: на луче $NO$ отложим $O{N}_1=ON$.

2) Проведём прямую $a=M{N}_1$. Это прямая стороны $AB$.

3) Построим квадрат $ABCD$ с центром $O$ и стороной $AB$ на прямой $a$ так, как в задаче 1284.

Доказательство:

Сторона $AB$ лежит на $a$, поэтому проходит через $M$. Прямая $CD$ симметрична прямой $AB$ относительно $O$, и она содержит точку, симметричную $N_1$ — то есть точку $N$. Центр построенного квадрата — $O$.

Исследование:

Если точки $M$, $O$, $N$ не лежат на одной прямой, то $M\ne N_1$, прямая $M{N}_1$ не проходит через $O$, и решение единственное. Если $M$, $O$, $N$ лежат на одной прямой и $O$ не середина отрезка $MN$, то прямая $M{N}_1$ проходит через $O$ — решений нет. Если же $O$ — середина отрезка $MN$ ($M\ne O$), то $N_1=M$, и в качестве $a$ подходит любая прямая через $M$, не проходящая через $O$: решений бесконечно много.