Номер 1273 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решим сразу для $n$-угольника в пункте в), а потом подставим $n=5$ и $n=6$.

в) Правильный $n$-угольник.

1) Осевые симметрии. Их $n$ штук: оси проходят через центр $O$ и вершины или середины сторон (см. задачу 1272).

2) Повороты. Поворот вокруг $O$ на угол $k\cdot \frac{360^{\circ }}{n}$ ($k=1,2,\dots ,n-1$) переводит каждую вершину в вершину, отстоящую от неё на $k$ дуг, поэтому отображает многоугольник на себя. Это $n-1$ различных поворотов (поворот при $k=n$ на $360^{\circ }$ — тождественное отображение, это не симметрия). Среди них при чётном $n$ есть поворот на $180^{\circ }$ — центральная симметрия.

3) Других нет. Симметрия переводит вершину $A_1$ в одну из $n$ вершин, а соседнюю $A_2$ — в одну из двух вершин, соседних с образом $A_1$ (соседство вершин сохраняется). После этого образ третьей вершины $A_3$ определён (она соседняя с $A_2$ и отлична от $A_1$). Движение однозначно задаётся образами трёх вершин, поэтому всего различных движений, отображающих многоугольник на себя, не больше $2n$, считая тождественное. Мы нашли тождественное, $n$ осевых и $n-1$ поворотов — ровно $2n$. Других нет.

Итак, правильный $n$-угольник имеет $n+(n-1)=2n-1$ симметрий. Проверка: при $n=3$ получаем 5, при $n=4$ получаем 7 — как в п. 127.

а) Правильный пятиугольник $(n=5)$: 5 осевых симметрий и 4 поворота вокруг центра на $72^{\circ }$, $144^{\circ }$, $216^{\circ }$, $288^{\circ }$ (в одну сторону; поворот на $216^{\circ }$ против часовой — то же, что на $144^{\circ }$ по часовой). Всего $2\cdot 5-1=9$.

б) Правильный шестиугольник $(n=6)$: 6 осевых симметрий и 5 поворотов вокруг центра на $60^{\circ }$, $120^{\circ }$, $180^{\circ }$, $240^{\circ }$, $300^{\circ }$; поворот на $180^{\circ }$ — центральная симметрия. Всего $2\cdot 6-1=11$.