Номер 1282 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение (поворот вокруг точки $B$):

Пусть, как на рисунке, $A$ левее $B$, а $M$ и $N$ лежат над прямой $a$. Рассмотрим поворот $R$ вокруг $B$ на $60^{\circ }$ по часовой стрелке.

1) $R(A)=M$. Луч $BA$ направлен влево, луч $BM$ получается из него поворотом на $60^{\circ }$ по часовой стрелке (угол $ABM$ равностороннего треугольника равен $60^{\circ }$, и $M$ лежит над $a$). Кроме того, $BM=BA$. Значит, $A$ переходит в $M$.

2) $R(N)=C$. Луч $BC$ направлен вправо, а луч $BN$ получается из него поворотом на $60^{\circ }$ против часовой стрелки (угол $NBC$ равен $60^{\circ }$, $N$ над $a$). Поэтому обратный поворот — на $60^{\circ }$ по часовой стрелке — переводит луч $BN$ в луч $BC$, а так как $BC=BN$, точка $N$ переходит в $C$.

3) Поворот $R$ переводит $A$ в $M$ и $N$ в $C$, значит, отрезок $AN$ отображается на отрезок $MC$. Поворот — движение, поэтому $AN=MC$.

4) По задаче 1269 угол между прямой и её образом при повороте равен углу поворота или дополняет его до $180^{\circ }$. Прямая $AN$ переходит в прямую $MC$, значит, прямые $AN$ и $MC$ образуют углы $60^{\circ }$ и $120^{\circ }$; на рисунке $\angle NKC=60^{\circ }$ ($K$ — точка пересечения). Угол между прямыми — $60^{\circ }$.