Номер 1274 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Пример: разносторонний треугольник $ABC$ со сторонами $AB=6$, $BC=5$, $CA=4$. Докажем, что у него нет симметрий.

Пусть движение $g$ отображает треугольник $ABC$ на себя. Образом треугольника при движении является треугольник с вершинами $g(A)$, $g(B)$, $g(C)$ (п. 124); раз он совпадает с $ABC$, точки $g(A)$, $g(B)$, $g(C)$ — это вершины $A$, $B$, $C$ в каком-то порядке. Движение сохраняет расстояния.

1) Пара вершин $A$, $B$ — единственная пара вершин на расстоянии $6$. Она переходит в пару вершин на том же расстоянии, то есть в эту же пару $\{A,B\}$. Так же пара $\{B,C\}$ (расстояние $5$) переходит в себя, и пара $\{C,A\}$ (расстояние $4$) — в себя.

2) Вершина $B$ — единственная общая вершина пар $\{A,B\}$ и $\{B,C\}$, поэтому $g(B)=B$. Аналогично $A$ — общая вершина пар $\{A,B\}$ и $\{C,A\}$, значит, $g(A)=A$, и $g(C)=C$.

3) Движение однозначно определяется образами трёх точек, не лежащих на одной прямой (п. 124). Три вершины остаются на месте, как и при тождественном отображении, поэтому $g$ — тождественное отображение. А симметрией называют движение, отличное от тождественного (п. 127). Следовательно, симметрий у треугольника $ABC$ нет.