Номер 1275 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

Центральная симметрия с центром $O$ — движение (п. 126). По условию она отображает четырёхугольник $ABCD$ на себя, поэтому вершины переходят в вершины, а стороны — в стороны.

1) Центр $O$ не совпадает ни с одной вершиной. Допустим, $A=O$. Тогда $A$ неподвижна, и стороны $AB$ и $AD$, выходящие из $A$, переходят в стороны, выходящие из $A$. Симметрия относительно $A$ переводит луч $AB$ в дополнительный луч, то есть сторона $AB$ не может перейти в себя, а значит, переходит в $AD$. Тогда луч $AD$ дополняет луч $AB$: точки $B$, $A$, $D$ лежат на одной прямой, и угол при вершине $A$ развёрнутый — это уже не четырёхугольник. Противоречие.

2) Значит, каждая вершина переходит в другую вершину. Двукратная симметрия возвращает точку на место, поэтому вершины разбиваются на две пары вершин, переходящих друг в друга, и $O$ — середина каждого из двух отрезков, соединяющих вершины пар.

3) Пары не могут состоять из соседних вершин. Если вершины $A$ и $B$ меняются местами, то сторона $AB$ переходит в себя и $O$ — её середина; остальные вершины $C$ и $D$ тогда тоже меняются, и $O$ — середина стороны $CD$. Получается, что противоположные стороны $AB$ и $CD$ имеют общую точку $O$ (рисунок б), чего у четырёхугольника быть не может. Так же отпадает случай $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$ (общая точка у сторон $AD$ и $BC$).

4) Остаётся $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow D$. Тогда $O$ — середина диагонали $AC$ и середина диагонали $BD$: диагонали четырёхугольника пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. По признаку параллелограмма четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.