Номер 1276 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Центр симметрии фигуры — точка $O$, при центральной симметрии относительно которой фигура отображается на себя. Ограниченные фигуры вроде многоугольника так не могут (задача 1277), поэтому берём неограниченные.

1) Прямая $a$.

Возьмём любую точку $O$ прямой $a$. Пусть $X$ — другая точка прямой, тогда симметричная ей точка $X_1$ лежит на прямой $XO$, то есть на $a$ (на луче $XO$ за точкой $O$, $O{X}_1=OX$). Центральная симметрия переводит каждую точку прямой $a$ в точку той же прямой, и каждая точка $X_1$ прямой получается из симметричной ей точки. Значит, прямая отображается на себя. Так как $O$ — любая точка прямой, все её точки — центры симметрии.

2) Полоса и пара параллельных прямых.

Пусть полоса ограничена параллельными прямыми $p$ и $q$, а $m$ — равноудалённая от них средняя линия. Возьмём любую точку $O$ прямой $m$ и проведём перпендикуляр $OH$ к прямой $p$; пусть $OH=d$. Тогда $O$ удалена от $q$ тоже на $d$, а перпендикуляр $OH$ продолжается за $O$ до основания перпендикуляра $H_1$ на $q$, $O{H}_1=d$.

Центральная симметрия с центром $O$ переводит отрезок $OH$ в отрезок $O{H}_1$ (точка $H$ переходит в $H_1$, так как $O{H}_1=OH$ и $H_1$ лежит на продолжении $HO$), а прямую $p$, перпендикулярную $OH$ — в прямую, перпендикулярную $O{H}_1$ и проходящую через $H_1$, то есть в $q$. Аналогично $q$ переходит в $p$. Значит, полоса (и пара прямых $p$, $q$) отображается на себя, а $O$ — любая точка средней линии. Центров симметрии бесконечно много.

3) Вся плоскость отображается на себя любой центральной симметрией, поэтому у неё центры — все точки.