Номер 1283 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение (поворот вокруг точки $B$):

Обойдём треугольник $ABC$ по ходу $A\to B\to C$ против часовой стрелки, как на рисунке (при другом направлении чертёж отражается зеркально, и рассуждение то же). Пусть $R$ — поворот вокруг $B$ на $60^{\circ }$ против часовой стрелки.

1) $R(A)=M$. Равносторонний треугольник $ABM$ лежит вне $ABC$, то есть справа от стороны $AB$ при обходе $A\to B$ (треугольник $ABC$ лежит слева). Поэтому от луча $BA$ к лучу $BM$ нужно повернуть на $60^{\circ }$ против часовой стрелки; кроме того, $BM=BA$. Значит, $A$ переходит в $M$.

2) $R(N)=C$. Треугольник $BCN$ лежит вне $ABC$, то есть справа от стороны $BC$ при обходе $B\to C$. Поэтому от луча $BC$ к лучу $BN$ нужно повернуть на $60^{\circ }$ по часовой стрелке, а от луча $BN$ к лучу $BC$ — на $60^{\circ }$ против часовой стрелки. Так как $BN=BC$, поворот $R$ переводит $N$ в $C$.

3) Итак, $R$ отображает отрезок $AN$ на отрезок $MC$. Движение сохраняет длины, поэтому $AN=MC$.

4) По задаче 1269 прямые $AN$ и $MC$ (образ и прообраз при повороте на $60^{\circ }$) образуют углы $60^{\circ }$ и $120^{\circ }$, то есть угол между ними равен $60^{\circ }$ — как и в предыдущей задаче.