Номер 1270 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

а) Отрезки параллельны.

Обозначим концы так, чтобы векторы $\overrightarrow{AB}$и $\overrightarrow{A_1{B}_1}$ были сонаправлены (иначе поменяем названия $A_1$ и $B_1$). Тогда $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1{B}_1}$, и четырёхугольник $AB{B}_1{A}_1$ — параллелограмм (если отрезки лежат на одной прямой, он вырожденный).

Построение:

Проведём отрезки $A{B}_1$ и $B{A}_1$ — диагонали параллелограмма. Точка $O$ их пересечения (середина каждой из них) — искомый центр.

Доказательство:

Точка $O$ — середина отрезков $A{B}_1$ и $B{A}_1$. Поворот на $180^{\circ }$ вокруг $O$ — центральная симметрия (п. 126); она переводит $A$ в $B_1$ и $B$ в $A_1$. Значит, отрезок $AB$ отображается на отрезок $B_1{A}_1$, то есть на $A_1{B}_1$.

Заметим, что поворот, переводящий $A$ в $A_1$ и $B$ в $B_1$, был бы параллельным переносом на вектор $\overrightarrow{A{A}_1}$, а не поворотом, поэтому единственный поворот — на $180^{\circ }$ вокруг построенной точки.

б) Отрезки не параллельны.

Анализ:

Пусть поворот вокруг $O$ переводит $A$ в $A_1$ и $B$ в $B_1$. Расстояние от центра до точки и до её образа одинаково: $OA=O{A}_1$ и $OB=O{B}_1$. Значит, $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $A{A}_1$ и на серединном перпендикуляре к $B{B}_1$.

Построение:

1) Проведём серединный перпендикуляр к отрезку $A{A}_1$ (циркулем и линейкой; на рисунке он проходит через середину $M_1$).

2) Проведём серединный перпендикуляр к отрезку $B{B}_1$ (через середину $M_2$).

3) Точка $O$ их пересечения — искомый центр.

Доказательство:

По построению $OA=O{A}_1$ и $OB=O{B}_1$, а по условию $AB=A_1{B}_1$. Треугольники $OAB$ и $O{A}_1{B}_1$ равны по трём сторонам, поэтому углы $AOB$ и $A_{1}O{B}_1$ равны и отложены в одну сторону. Поворот вокруг $O$ на угол $AO{A}_1$ переводит $A$ в $A_1$, луч $OB$ — в луч $O{B}_1$, а так как $OB=O{B}_1$, точку $B$ — в $B_1$. Значит, отрезок $AB$ отображается на $A_1{B}_1$.

Исследование:

Если серединные перпендикуляры к $A{A}_1$ и $B{B}_1$ параллельны или совпадают, поменяем названия концов $A_1$ и $B_1$ и повторим построение: отрезок тот же, а перпендикуляры к $A{B}_1$ и $B{A}_1$ уже пересекаются в одной точке.