Номер 1272 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Вершины правильного $n$-угольника лежат на окружности с центром $O$ и делят её на равные дуги по $\frac{360^{\circ }}{n}$.

1) Осей не меньше $n$.

Осевая симметрия относительно прямой $O{A}_1$ отображает вершину, лежащую на дуге $\alpha$ от $A_1$ в одну сторону, в вершину на дуге $\alpha$ в другую сторону, то есть переводит набор вершин в себя, а значит, и многоугольник на себя. То же верно для каждой прямой через $O$, проходящей через вершину или через середину стороны.

— Если $n$ нечётно, то каждая прямая $O{A}_k$ проходит ещё и через середину противоположной стороны; получаем $n$ различных осей (по одной на вершину).

— Если $n$ чётно, то прямая $O{A}_k$ проходит через две противоположные вершины — это $\frac{n}{2}$ осей; ещё $\frac{n}{2}$ осей проходят через середины противоположных сторон. Всего снова $n$.

2) Осей не больше $n$.

Ось, отображающая многоугольник на себя, переводит вершину $A_1$ в одну из $n$ вершин $A_j$. При $j\ne 1$ она — серединный перпендикуляр к отрезку $A_1{A}_j$, и определена однозначно. При $j=1$ вершина $A_1$ неподвижна, а соседние $A_2$ и $A_n$ обязаны поменяться местами (иначе симметрия тождественна), так что ось — серединный перпендикуляр к $A_2{A}_n$, то есть прямая $O{A}_1$. Значит, осей не больше числа вершин $n$.

Итак, у правильного $n$-угольника ровно $n$ осей симметрии: у пятиугольника — 5, у шестиугольника — 6.