Номер 1280 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Способ построения розетки (п. 128): делим плоскость вокруг центра $O$ на $n$ равных секторов по $\frac{360^{\circ }}{n}$, в одном секторе строим фигуру и поворачиваем её вокруг $O$ на $\frac{360^{\circ }}{n}$, $2\cdot \frac{360^{\circ }}{n}$, … (всего $n-1$ раз). Поворот на $\frac{360^{\circ }}{n}$ переводит каждую фигуру в следующую, а последнюю в первую, поэтому вся розетка отображается на себя.

а) Равносторонние треугольники.

Возьмём $n=3$: секторы по $120^{\circ }$. В одном секторе построим равносторонний треугольник с вершиной $O$ (его угол $60^{\circ }$ помещается в сектор). Повернём его вокруг $O$ на $120^{\circ }$ и на $240^{\circ }$. Получим три равных треугольника с общей вершиной $O$ — «вертушку». Поворот на $120^{\circ }$ вокруг $O$ переводит первый треугольник во второй, второй — в третий, третий — в первый.

б) Ромбы.

Возьмём $n=5$: секторы по $72^{\circ }$. Построим ромб с острым углом $72^{\circ }$ при вершине $O$: две его стороны лежат на лучах, ограничивающих сектор. Повернём ромб вокруг $O$ на $72^{\circ }$, $144^{\circ }$, $216^{\circ }$ и $288^{\circ }$. Пять ромбов заполняют весь угол вокруг $O$ ($5\cdot 72^{\circ }=360^{\circ }$), соседние граничат по общей стороне. Получается пятиконечная «звезда». Поворот на $72^{\circ }$ переводит каждый ромб в соседний, а значит, всю звезду — в себя.