Номер 1271 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Симметрия фигуры — любое движение, кроме тождественного, которое отображает фигуру на себя (п. 127). Для многоугольника такое движение переводит вершины в вершины и стороны в стороны, поэтому сохраняет соседство вершин и расстояния между ними. Движение однозначно определяется образами трёх вершин, не лежащих на одной прямой. Поэтому симметрии многоугольника можно найти, перебрав перестановки вершин, при которых соседние вершины остаются соседними, а длины сторон и диагоналей не меняются.

а) Параллелограмм $ABCD$, $AB=CD=a$, $BC=AD=b$, $a\ne b$, диагонали $AC$ и $BD$ различны.

Центральная симметрия с центром $O$ — точкой пересечения диагоналей — отображает $A$ в $C$ и $B$ в $D$, то есть параллелограмм на себя. Это симметрия.

Других симметрий нет. Возможные перестановки вершин с сохранением соседства — повороты и отражения четырёхугольника. Поворот $A\to B\to C\to D$ (и обратный ему) переводит сторону $AB$ (длины $a$) в сторону $BC$ (длины $b$), что невозможно. Отражения с обменом $A\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow D$ или $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$ переводят диагональ $AC$ в диагональ $BD$, а они различны. Отражения с неподвижной диагональю переводят $AB$ в $AD$ или $CB$, то есть $a$ в $b$.

б) Прямоугольник $ABCD$, $AB=CD=a$, $BC=AD=b$, $a\ne b$.

Симметрий три: две осевые — относительно прямых, проходящих через середины противоположных сторон (первая переставляет $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$, вторая $A\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow D$), и центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей.

Других нет: образ вершины $A$ — одна из четырёх вершин, а после этого образ соседней вершины определяется длиной стороны (из $a\ne b$). Так получаются ровно четыре движения: тождественное, две осевые и центральная симметрии.

в) Ромб $ABCD$, диагонали $AC\ne BD$ (не квадрат).

Симметрий три: две осевые, осями которых служат диагонали $AC$ и $BD$ (ромб симметричен относительно каждой диагонали, так как она — серединный перпендикуляр к другой), и центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей.

Других нет: диагонали различны, поэтому каждая отображается на себя; вершины $A$, $C$ могут остаться на месте или поменяться, то же для $B$, $D$. Из четырёх вариантов один тождественный, остальные три — найденные симметрии.

г) Равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, $AB=CD$, $AD\ne BC$.

Симметрия одна: осевая симметрия относительно прямой, проходящей через середины оснований (серединного перпендикуляра к ним); она переставляет $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$.

Других нет: основания разной длины, поэтому каждое отображается на себя. Если $A$ и $D$ остаются на месте, то остаётся и $B$ (единственная другая вершина, соседняя с $A$), и движение тождественное. Если $A$ и $D$ меняются, то меняются $B$ и $C$ — это найденная осевая симметрия.