Номер 1281 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

1) Пусть $R_0$ — поворот вокруг $O$ на $90^{\circ }$, при котором $A$ переходит в $B$. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой $O$ делятся пополам, поэтому $OA=OB=OC=OD$ и $\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=\angle DOA=90^{\circ }$. Значит, $R_0$ переводит $B$ в $C$, $C$ в $D$, $D$ в $A$: вершины — в вершины, стороны — в стороны, и квадрат отображается на себя (это одна из семи симметрий квадрата, п. 127).

2) Поворот на $90^{\circ }$ вокруг $O$ переводит прямую $l_1$, проходящую через $O$, в прямую, которая тоже проходит через $O$ (центр неподвижен) и образует с $l_1$ угол $90^{\circ }$ (задача 1269). Такая прямая единственна — это $l_2$. Итак, $R_0(l_1)=l_2$.

3) Поворот взаимно однозначен и переводит квадрат в себя, поэтому общую часть прямой $l_1$ и квадрата, то есть отрезок $PQ$, он переводит в общую часть прямой $l_2$ и квадрата, то есть в отрезок $RS$.

4) Поворот — движение: при нём отрезок отображается на равный ему отрезок. Следовательно, $PQ=RS$.