Номер 1269 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

Случай 1: $O$ лежит на прямой $a$.

Возьмём на $a$ точку $P$, отличную от $O$, и пусть $P_1$ — её образ. Тогда $\angle PO{P}_1=\phi$ по определению поворота. Точка $O$ неподвижна, поэтому образ прямой $a=OP$ — прямая $a_1=O{P}_1$. Прямые $a$ и $a_1$ пересекаются в точке $O$, и один из образованных ими углов — $\angle PO{P}_1=\phi$, а смежный с ним равен $180^{\circ }-\phi$.

Случай 2: $O$ не лежит на прямой $a$.

1) Проведём $OH\perp a$ ($H$ лежит на $a$) и пусть $H_1$ — образ точки $H$. Тогда $O{H}_1=OH$ и $\angle HO{H}_1=\phi$.

2) Докажем, что $O{H}_1\perp a_1$. Для любой точки $X$ прямой $a$, отличной от $H$, наклонная длиннее перпендикуляра: $OX>OH$. Образ $X_1$ лежит на $a_1$ и $O{X}_1=OX>OH=O{H}_1$. Каждая точка прямой $a_1$ — образ какой-то точки прямой $a$, поэтому $H_1$ — ближайшая к $O$ точка прямой $a_1$. Ближайшая точка прямой — основание перпендикуляра, значит, $O{H}_1\perp a_1$.

3) Так как $OH\nparallel O{H}_1$ (угол между ними $\phi$ не равен $0^{\circ }$ и $180^{\circ }$), прямые $a$ и $a_1$, перпендикулярные этим прямым, не параллельны. Пусть они пересекаются в точке $K$.

4) В четырёхугольнике $OHK{H}_1$ углы при $H$ и $H_1$ прямые, угол при $O$ равен $\phi$. Сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ }$, поэтому $\angle HK{H}_1=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-\phi =180^{\circ }-\phi$.

Угол $HK{H}_1$ — один из углов между прямыми $a$ и $a_1$, смежный с ним равен $\phi$. Следовательно, угол между прямыми равен $\phi$ или $180^{\circ }-\phi$.

Замечание: при $\phi =180^{\circ }$ (центральная симметрия) прямая $a_1$ параллельна $a$ или совпадает с ней — угла между прямыми нет.