Номер 1268 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

а) Прямая $a$ не проходит через $O$.

Построение:

1) Опустим из $O$ перпендикуляр $OM$ на прямую $a$ и проведём окружность $\omega$ с центром $O$ радиуса $OM$. Прямая $a$ перпендикулярна радиусу $OM$ в его конце, поэтому касается $\omega$ в точке $M$.

2) Построим $M_1$: $\angle MO{M}_1=60^{\circ }$ по часовой стрелке, $O{M}_1=OM$ (точка $M_1$ лежит на $\omega$).

3) Проведём через $M_1$ прямую $a_1$, перпендикулярную $O{M}_1$. Это искомая прямая.

Доказательство:

Поворот вокруг $O$ отображает окружность $\omega$ на себя (расстояние до $O$ сохраняется), а прямую $a$ — на некоторую прямую $a^{\prime }$ (п. 124). У $a$ и $\omega$ ровно одна общая точка $M$. Поворот взаимно однозначен и переводит общие точки в общие точки, поэтому у $a^{\prime }$ и $\omega$ ровно одна общая точка $M_1$ — образ точки $M$. Значит, $a^{\prime }$ — касательная к $\omega$ в точке $M_1$, то есть $a^{\prime }\perp O{M}_1$. Через $M_1$ проходит единственная прямая, перпендикулярная $O{M}_1$, поэтому $a^{\prime }=a_1$.

б) Прямая $a$ проходит через $O$.

Построение:

1) Отметим на $a$ точку $P$, отличную от $O$.

2) Построим $P_1$: $\angle PO{P}_1=60^{\circ }$ по часовой стрелке, $O{P}_1=OP$.

3) Проведём прямую $O{P}_1$. Это искомая прямая $a_1$.

Доказательство:

Точка $O$ при повороте остаётся на месте, а точка $P$ переходит в $P_1$. Поворот отображает прямую на прямую (п. 124), значит, образ прямой $a=OP$ — прямая $O{P}_1$. Прямые $a$ и $a_1$ пересекаются в точке $O$ под углом $60^{\circ }$.