Номер 1286 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Фигура $F$ состоит из пяти отрезков, соединяющих через одну вершины правильного пятиугольника $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5$ (его диагоналей); его вершины — концы лучей звезды, $O$ — центр пятиугольника.

1) Симметрии звезды — это симметрии пятиугольника.

Пусть $d$ — длина диагонали пятиугольника. Это наибольшее расстояние между точками звезды, и оно достигается только для пар концов лучей, соединённых отрезком звезды. Движение, отображающее $F$ на себя, сохраняет расстояния, поэтому переводит концы лучей в концы лучей. Движение, переводящее вершины правильного пятиугольника в его же вершины, отображает на себя и сам пятиугольник. Итак, всякая симметрия звезды является симметрией пятиугольника.

Обратно, всякая симметрия пятиугольника переставляет его вершины, сохраняя расстояния, поэтому диагонали (пары несоседних вершин) переводит в диагонали. Значит, пять отрезков звезды переходят в эти же пять отрезков, и звезда отображается на себя.

2) Перечислим симметрии.

По задаче 1273 у правильного пятиугольника $2\cdot 5-1=9$ симметрий. Поэтому у звезды их тоже девять:

— пять осевых симметрий; осями служат прямые, проходящие через центр $O$ и каждый из пяти концов лучей (на рисунке слева пунктиром; каждая ось проходит и через вершину внутреннего пятиугольника, противоположную концу);

— четыре поворота вокруг центра $O$ на $72^{\circ }$, $144^{\circ }$, $216^{\circ }$ и $288^{\circ }$ (против часовой стрелки; поворот на $288^{\circ }$ — то же, что на $72^{\circ }$ по часовой стрелке).