Номер 1284 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ:

Пусть $ABCD$ — искомый квадрат, $AB$ лежит на $a$. Диагонали квадрата пересекаются в центре $O$ и делятся им пополам, поэтому $C$ и $D$ симметричны $A$ и $B$ относительно $O$ (это поворот на $180^{\circ }$ вокруг центра квадрата). Основание $H$ перпендикуляра из $O$ на $a$ — середина стороны $AB$, а $OH$ равен половине стороны: $HA=HB=OH$.

Построение:

1) Опустим из $O$ перпендикуляр $OH$ на прямую $a$ (точка $O$ не должна лежать на $a$).

2) Проведём окружность с центром $H$ радиуса $OH$. Она пересекает $a$ в двух точках $A$ и $B$, $HA=HB=OH$.

3) Построим точки $C$ и $D$, симметричные $A$ и $B$ относительно $O$: на лучах $AO$ и $BO$ отложим $OC=OA$ и $OD=OB$.

4) Четырёхугольник $ABCD$ — искомый квадрат.

Доказательство:

Треугольник $OHA$ прямоугольный, $OH=HA$, поэтому $\angle HOA=45^{\circ }$; так же $\angle HOB=45^{\circ }$. Значит, $\angle AOB=90^{\circ }$ и $OA=OB$ (гипотенузы равных прямоугольных треугольников). По построению $O$ — середина $AC$ и $BD$, поэтому $AC=2OA=2OB=BD$, и $AC\perp BD$. Четырёхугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, — параллелограмм; равные диагонали делают его прямоугольником; перпендикулярные — ромбом. Параллелограмм, который одновременно прямоугольник и ромб, — квадрат. Сторона $AB$ лежит на $a$, центр квадрата — $O$.

Исследование:

Если $O$ не лежит на $a$, квадрат существует и единственный: середина стороны и её длина $2\cdot OH$ определены однозначно. Если $O$ лежит на $a$, задача не имеет решения: центр квадрата лежит внутри него, а не на прямой, содержащей сторону.