Номер 1307 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1307. Длина стороны квадрата $F$ равна $a$ . Построен многоугольник $F_{1}$ , подобный многоугольнику $F$ . а) Докажите, что многоугольник $F_{1}$ — квадрат. б) Найдите площадь многоугольника $F_{1}$ , если коэффициент подобия многоугольников $F$ и $F_{1}$ равен $k$ .

Дано:

$F$ — квадрат со стороной $a$

$F_{1} \sim F$ с коэффициентом $k$

Доказать и найти:

а) $F_{1}$ — квадрат

б) $S_{F_{1}}$

Чертёж к задаче 1307 — квадрат F со стороной a и подобный ему квадрат F1 со стороной ka

а) Доказательство:

Подобные многоугольники имеют одинаковое число вершин, соответственные углы у них равны, а сходственные стороны пропорциональны (п. 131). Пусть $k$ — коэффициент подобия, то есть каждая сторона $F_{1}$ в $k$ раз больше сходственной стороны $F$ .

1) У квадрата $F$ четыре вершины, поэтому и $F_{1}$ — четырёхугольник.

2) Все углы квадрата $F$ прямые, а соответственные углы $F_{1}$ им равны, значит, и все углы $F_{1}$ прямые.

3) Все стороны квадрата $F$ равны $a$ , поэтому все стороны $F_{1}$ равны $ka$ — они равны между собой.

Четырёхугольник с прямыми углами и равными сторонами — квадрат, значит, $F_{1}$ — квадрат со стороной $ka$ .

б) Решение:

Сторона квадрата $F_{1}$ равна $ka$ , поэтому

S_{F_{1}} = (ka)^{2} = k^{2} a^{2}

Тот же результат даёт теорема о площадях подобных многоугольников (п. 132): $\frac{S _{F_{1}}}{S _{F}} = k^{2}$ , а $S_{F} = a^{2}$ .

Ответ: а) что и требовалось доказать. б) $S_{F_{1}} = k^{2} a^{2}$ .

Номер 1307 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели