Номер 1315 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$

угол $B A C$ и его образ — угол $B_{1} A_{1} C_{1}$

Доказать:

$∠ B_{1} A_{1} C_{1} = ∠ B A C$

Чертёж к задаче 1315 — угол BAC, его образ B1A1C1 при гомотетии с центром O и дополнительные пунктирные лучи OA1, OB1, OC1

Доказательство:

По определению гомотетии (п. 133) для каждой точки $X$ её образ $X_{1}$ удовлетворяет равенству $O X_{1} = k \cdot OX$ (центр $O$ переходит в себя). Пусть $A, B, C$ переходят в $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ .

1) Найдём векторы сторон угла-образа:

A_{1} B_{1} = O B_{1} - O A_{1} = k OB - k O A = k A B

A_{1} C_{1} = O C_{1} - O A_{1} = k OC - k O A = k A C

Отсюда $A_{1} B_{1} = ∣ k ∣ \cdot A B$ и $A_{1} C_{1} = ∣ k ∣ \cdot A C$ .

2) Косинус угла между векторами выражается через скалярное произведение. Множители $k$ сокращаются:

cos ∠ B_{1} A_{1} C_{1} = \frac{A _{1} B _{1} \cdot A _{1} C _{1}}{A _{1} B _{1} \cdot A _{1} C _{1}} = \frac{k ^{2} A B \cdot A C}{k ^{2} A B \cdot A C} = cos ∠ B A C

Углы от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ определяются своим косинусом однозначно, поэтому $∠ B_{1} A_{1} C_{1} = ∠ B A C$ . Так как ни в одном шаге не использовалось, где расположены точки $A$ и $O$ , доказательство верно и для угла с вершиной в центре гомотетии, и для развёрнутого угла.

Второй способ (через подобие):

Если точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, то из равенств $A_{1} B_{1} = ∣ k ∣ A B$ , $A_{1} C_{1} = ∣ k ∣ A C$ , $B_{1} C_{1} = ∣ k ∣ BC$ (свойство 2⁰ п. 134) следует, что треугольники $A BC$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ подобны по третьему признаку (три пары сходственных сторон пропорциональны с коэффициентом $∣ k ∣$ ). В подобных треугольниках соответственные углы равны, значит, $∠ B_{1} A_{1} C_{1} = ∠ B A C$ .

Ответ: что и требовалось доказать.

Номер 1315 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели