Номер 1314 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Идея:

Каждая точка $X$ переходит в точку $X_1$ на луче $AX$ с $A{X}_1=2AX$, то есть $\overrightarrow{A{X}_1}=2\overrightarrow{AX}$. Если $A$ — начало отсчёта, то $X(x;y)$ переходит в $X_1(2x;2y)$; если $A$ имеет координаты $(a;b)$, то $X_1(2x-a;2y-b)$. Многоугольник переходит в подобный ему с коэффициентом 2, окружность — в окружность вдвое большего радиуса (свойство 3⁰ п. 134). Рисунок учебника клетчатый, поэтому считаем в клетках: оси направлены вправо и вверх, координаты вершин — «столбец; строка».

а) Трапеция:

Основания трапеции лежат на горизонталях: нижнее от $(0;0)$ до $(5;0)$, верхнее от $(1;2)$ до $(3;2)$; точка $A(1;1)$. Образы вершин $(2x-1;2y-1)$: $(-1;-1)$, $(9;-1)$, $(5;3)$, $(1;3)$. Соединяем их в том же порядке — получаем трапецию с основаниями 10 и 4 клетки (вдвое длиннее прежних).

б) Окружность:

Центр окружности $C(0;0)$, радиус 2 клетки, точка $A(1;-1)$. Центр образа: $C_1=(2\cdot 0-1;2\cdot 0-(-1))=(-1;1)$, радиус $2\cdot 2=4$ клетки. Проводим окружность с центром $C_1(-1;1)$ и радиусом 4 клетки. Проверка: точка $P(2;0)$ окружности переходит в $P_1(3;1)$, и $C_1{P}_1=4$.

в) «Лицо»:

Вершины восьмиугольника: $(1;3)$, $(3;3)$, $(4;2)$, $(4;1)$, $(3;0)$, $(1;0)$, $(0;1)$, $(0;2)$; глаза $(1;2)$ и $(3;2)$; точка $A(2;1)$. Образ точки $(x;y)$ — $(2x-2;2y-1)$:

Глаза переходят в точки $(0;3)$ и $(4;3)$, точка $A$ остаётся на месте. Улыбка — дуга окружности — переходит в дугу окружности вдвое большего радиуса: её концы $(1;0,75)$ и $(3;0,75)$ переходят в $(0;0,5)$ и $(4;0,5)$.

г) Параллелограмм:

Точка $A$ — вершина параллелограмма. Примем её за начало: вершины $A(0;0)$, $(4;0)$, $(5;2)$, $(1;2)$. Образы: $A_1=A$, $(8;0)$, $(10;4)$, $(2;4)$. Получился параллелограмм, у которого общий с исходным угол при вершине $A$, а стороны вдвое длиннее.

Во всех пунктах фигура-образ подобна данной с коэффициентом 2: стороны вдвое длиннее, углы те же, а площадь в 4 раза больше (п. 132).