Номер 1317 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

Напомним определение (п. 135): $F_1\sim F$, если $F_1$ равна некоторой фигуре $F^{\ast }$, гомотетичной $F$; коэффициент подобия — модуль коэффициента гомотетии. Нам даны:

• гомотетия $h$ с центром $O$ и коэффициентом $k_0$, $|k_0|=k$, переводящая $F$ в $F^{\ast }$;

• движение $f$, переводящее $F^{\ast }$ в $F_1$ (так как $F_1=F^{\ast }$).

Итак, $F_1=f(h(F))$. Нужно найти фигуру, гомотетичную $F_1$ с коэффициентом $\frac{1}{k_0}$ и равную $F$.

1) Возьмём любую точку $O^{\prime }$ и гомотетию $h^{\prime }$ с центром $O^{\prime }$ и коэффициентом $\frac{1}{k_0}$. Обозначим $F^{\ast \ast }=h^{\prime }(F_1)$. Фигура $F^{\ast \ast }$ гомотетична $F_1$ с коэффициентом $\frac{1}{k_0}$.

2) Рассмотрим отображение плоскости на себя $g$: сначала выполняем $h$, затем $f$, затем $h^{\prime }$, то есть $g(X)=h^{\prime }(f(h(X)))$. Оно переводит $F$ в $h^{\prime }(f(F^{\ast }))=h^{\prime }(F_1)=F^{\ast \ast }$.

3) Покажем, что $g$ — движение, то есть сохраняет расстояния. Пусть $X,Y$ — любые точки. По свойству 2⁰ (п. 134) гомотетия $h$ умножает расстояния на $|k_0|$, движение $f$ расстояния не меняет, гомотетия $h^{\prime }$ умножает их на $\left|\frac{1}{k_0}\right|$:

Отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, — движение. Значит, $g$ — движение.

4) Итак, фигура $F$ движением $g$ переходит в $F^{\ast \ast }$, то есть $F=F^{\ast \ast }$, а $F^{\ast \ast }$ гомотетична $F_1$ с коэффициентом $\frac{1}{k_0}$. По определению $F\sim F_1$ с коэффициентом $\left|\frac{1}{k_0}\right|=\frac{1}{k}$.