Номер 1310 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ:

По определению гомотетии $\overrightarrow{O{A}_1}=k\cdot \overrightarrow{OA}$. Отсюда $\overrightarrow{OA}=\frac{1}{k}\cdot \overrightarrow{O{A}_1}$: искомая точка $A$ — образ точки $A_1$ при гомотетии с тем же центром $O$ и коэффициентом $\frac{1}{k}$. Значит, $OA=\frac{O{A}_1}{|k|}$, а $A$ лежит на луче $O{A}_1$ при $k>0$ и на продолжении луча $O{A}_1$ за точку $O$ при $k<0$. Точки $B$ и $C$ строим так же.

а) Коэффициент $k=3$:

Проводим лучи $O{A}_1$, $O{B}_1$, $O{C}_1$ и на каждом откладываем от $O$ треть длины отрезка: $OA=\frac{O{A}_1}{3}$, $OB=\frac{O{B}_1}{3}$, $OC=\frac{O{C}_1}{3}$. Треть отрезка находим, например, измерив его линейкой и разделив длину на 3.

б) Коэффициент $k=-2$:

Теперь $OA=\frac{O{A}_1}{2}$ и точка $A$ лежит по другую сторону от $O$: проводим прямую $A_{1}O$, за точкой $O$ откладываем половину отрезка $O{A}_1$. Аналогично $B$ и $C$.

Коэффициент $k=1$:

гомотетия с коэффициентом 1 оставляет на месте все точки (п. 133), поэтому $A=A_1$, $B=B_1$, $C=C_1$ — строить ничего не нужно.

Коэффициент $k=\frac{1}{3}$:

Теперь $OA=\frac{O{A}_1}{1/3}=3O{A}_1$: на луче $O{A}_1$ от точки $A_1$ откладываем ещё два отрезка, равных $O{A}_1$ (раствором циркуля $O{A}_1$ дважды подряд). Так же строим $B$ и $C$.

Проверка: во всех случаях $O{A}_1=|k|\cdot OA$ и $A_1$ лежит на нужном луче, то есть гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ действительно переводит $A$ в $A_1$.