Номер 1313 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

треугольники рисунка 401, а–г на клетчатой бумаге

центр и коэффициент гомотетии в каждом пункте

Построить:

образы треугольников при гомотетии

Идея:

гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ переводит вершину $X$ в такую точку $X_{1}$ , что $O X_{1} = k \cdot OX$ (п. 133), центр остаётся на месте. Треугольник переходит в подобный ему треугольник с коэффициентом $∣ k ∣$ (п. 134), поэтому достаточно построить образы трёх вершин и соединить их. Рисунок учебника клетчатый, поэтому считаем в клетках: оси направлены вправо и вверх, координаты вершин — «столбец; строка».

а) $△ A BC$ , центр $O$ , $k = 3$ :

Чертёж к задаче 1313 — треугольник ABC на клетчатой бумаге, точка O внутри и треугольник A1B1C1, втрое больший, при гомотетии с центром O

Примем $A$ за начало отсчёта: $A (0; 0)$ , $B (3; 3)$ , $C (6; 0)$ , точка $O$ отстоит от $A C$ на полторы клетки вверх и лежит под вершиной $B$ : $O (3; 1, 5)$ .

1) $O A = (- 3; - 1, 5)$ , значит, $O A_{1} = 3 O A = (- 9; - 4, 5)$ и $A_{1} (- 6; - 3)$ .

2) $OB = (0; 1, 5)$ , $O B_{1} = (0; 4, 5)$ , $B_{1} (3; 6)$ .

3) $OC = (3; - 1, 5)$ , $O C_{1} = (9; - 4, 5)$ , $C_{1} (12; - 3)$ .

Соединяем $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ . Стороны нового треугольника втрое длиннее и параллельны сторонам $A BC$ : например, $A_{1} C_{1} = 18$ клеток, $A C = 6$ .

б) $△ X Y Z$ , центр $Z$ , $k = \frac{1}{2}$ :

Чертёж к задаче 1313 — треугольник XYZ на клетчатой бумаге и вдвое меньший треугольник X1Y1Z при гомотетии с центром Z

Примем $X$ за начало: $X (0; 0)$ , $Y (3; - 3)$ , $Z (4; 2)$ . Центр $Z$ неподвижен: $Z_{1} = Z$ . При $k = \frac{1}{2}$ точка $X_{1}$ — середина отрезка $ZX$ , точка $Y_{1}$ — середина отрезка $Z Y$ :

X_{1} (\frac{4 + 0}{2}; \frac{2 + 0}{2}) = X_{1} (2; 1), Y_{1} (\frac{4 + 3}{2}; \frac{2 - 3}{2}) = Y_{1} (3, 5; - 0, 5)

Треугольник $X_{1} Y_{1} Z$ — образ $X Y Z$ : его сторона $X_{1} Y_{1}$ — средняя линия треугольника $X Y Z$ .

в) $△ PQR$ , центр $P$ , $k = - 2$ :

Чертёж к задаче 1313 — треугольник PQR на клетчатой бумаге и вдвое больший треугольник PQ1R1, расположенный по другую сторону от P

Примем $P$ за начало: $P (0; 0)$ , $Q (1; - 3)$ , $R (6; - 3)$ . Центр $P$ неподвижен. Отрицательный коэффициент $k = - 2$ разворачивает вектор в противоположную сторону и увеличивает его вдвое:

P Q_{1} = - 2 \cdot (1; - 3) = (- 2; 6), P R_{1} = - 2 \cdot (6; - 3) = (- 12; 6)

Откладываем от $P$ точки $Q_{1} (- 2; 6)$ и $R_{1} (- 12; 6)$ и соединяем $P$ , $Q_{1}$ , $R_{1}$ . Стороны $Q_{1} R_{1}$ и $QR$ параллельны, $Q_{1} R_{1} = 10$ клеток, $QR = 5$ .

г) $△ L MN$ , центр $E$ , $k = - \frac{1}{2}$ :

Чертёж к задаче 1313 — прямоугольный треугольник LMN на клетчатой бумаге, точка E на стороне LN и вдвое меньший перевёрнутый треугольник L1M1N1

В условии сказано «середина отрезка $L M$ », но на рисунке 401, г точка $E$ отмечена на нижней стороне $L N$ , в двух клетках от $L$ , то есть в середине $L N$ . Решаем по рисунку; если брать середину $L M$ , построение то же — меняется только центр.

Примем $L$ за начало: $L (0; 0)$ , $M (0; 4)$ , $N (4; 0)$ , $E (2; 0)$ . Центр $E$ неподвижен. Находим векторы от $E$ и умножаем их на $- \frac{1}{2}$ :

E L = (- 2; 0) \to (1; 0), EM = (- 2; 4) \to (1; - 2), EN = (2; 0) \to (- 1; 0)

Прибавляем к $E (2; 0)$ : $L_{1} (3; 0)$ , $M_{1} (3; - 2)$ , $N_{1} (1; 0)$ . Получился прямоугольный треугольник $L_{1} M_{1} N_{1}$ с катетами $L_{1} N_{1} = 2$ и $L_{1} M_{1} = 2$ — вдвое короче катетов $L N = 4$ и $L M = 4$ , и повёрнутый «вниз».

Ответ: треугольники построены: $A_{1} (- 6; - 3), B_{1} (3; 6), C_{1} (12; - 3)$ (а); $X_{1} (2; 1), Y_{1} (3, 5; - 0, 5), Z_{1} = Z$ (б); $Q_{1} (- 2; 6), R_{1} (- 12; 6), P_{1} = P$ (в); $L_{1} (3; 0), M_{1} (3; - 2), N_{1} (1; 0)$ (г) — координаты в клетках от вершин $A$ , $X$ , $P$ , $L$ соответственно.

Номер 1313 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели