№1303. Могут ли быть подобными многоугольники и , если: а) — остроугольный, а — тупоугольный треугольники; б) — равносторонний треугольник, а — равнобедренный, но не равносторонний треугольник; в) — прямоугольник, а — квадрат; г) и — прямоугольники; д) и — пятиугольники; е) — шестиугольник, а — пятиугольник. Ответ обоснуйте.
Дано:
шесть пар многоугольников и — пункты а)–е)
Выяснить:
могут ли и быть подобными в каждом случае
Нужно помнить: подобные многоугольники — одноимённые (с одинаковым числом углов), их соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.
а) Нет.
У подобных треугольников углы соответственно равны. У остроугольного треугольника все углы острые, а у тупоугольного есть тупой угол; он не может быть равен острому. Значит, такие треугольники не подобны.
б) Нет.
Стороны равностороннего треугольника равны , , . Стороны подобного ему треугольника пропорциональны им: , , — все равны, и треугольник равносторонний. А по условию не равносторонний, поэтому подобными они быть не могут.
в) Нет.
Стороны квадрата равны , , , , поэтому стороны подобного ему четырёхугольника равны — все четыре одинаковы, и прямоугольник с равными сторонами — квадрат. Значит, прямоугольник , не являющийся квадратом, не подобен квадрату. (Квадрат — частный случай прямоугольника, и два квадрата, конечно, подобны; но в условии прямоугольник противопоставлен квадрату.)
г) Да.
Пример: прямоугольники со сторонами , и , . Их углы равны (по ), стороны пропорциональны с коэффициентом , значит, они подобны.
д) Да.
Пример: два правильных пятиугольника со сторонами и . Все их углы равны , а стороны пропорциональны с коэффициентом .
е) Нет.
Подобные многоугольники — одноимённые, то есть имеют одинаковое число углов. У шестиугольника шесть углов, у пятиугольника — пять, поэтому они не могут быть подобными.
Ответ: а) нет; б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) нет.
