Номер 1318 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

По определению п. 135 (подобие — «гомотетия и движение») из условий получаем:

• $F_1\sim F$: найдутся гомотетия $h_1$ с коэффициентом $k_0$, $|k_0|=k$, и движение $f_1$ такие, что $F_1=f_1(h_1(F))$;

• $F_2\sim F_1$: найдутся гомотетия $h_2$ с коэффициентом $n_0$, $|n_0|=n$, и движение $f_2$ такие, что $F_2=f_2(h_2(F_1))$.

Тогда $F_2=f_2(h_2(f_1(h_1(F))))$. Обозначим $g$ отображение плоскости на себя: $g(X)=f_2(h_2(f_1(h_1(X))))$. Итак, $g(F)=F_2$.

1) Найдём, как $g$ меняет расстояния. Для любых точек $X,Y$: $h_1$ умножает расстояние на $k$, $f_1$ не меняет, $h_2$ умножает на $n$, $f_2$ не меняет (свойство 2⁰ п. 134 и свойство движения). Значит,

2) Возьмём любую точку $S$ и гомотетию $h$ с центром $S$ и коэффициентом $nk$. Она тоже умножает расстояния на $nk$, а обратная ей гомотетия $h^{-1}$ (коэффициент $\frac{1}{nk}$) — на $\frac{1}{nk}$. Рассмотрим $m=g\circ h^{-1}$, то есть $m(P)=g(h^{-1}(P))$. Для точек $P,Q$, обозначив $X=h^{-1}(P)$, $Y=h^{-1}(Q)$:

Отображение $m$ плоскости на себя сохраняет расстояния, то есть $m$ — движение.

3) Так как $g=m\circ h$, получаем $F_2=g(F)=m(h(F))$. Фигура $h(F)$ гомотетична $F$ с коэффициентом $nk$, а $F_2$ равна ей (получается из неё движением $m$).

По определению $F_2\sim F$, причём коэффициент подобия равен $nk$ — это свойство б) п. 135.