Номер 1320 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Идея:

По определению п. 135 фигура $F_1$ подобна $F$, если $F_1$ равна некоторой фигуре $F^{\ast }$, гомотетичной $F$. Поэтому сначала выясним, во что переходит $F$ при гомотетии (свойства 1⁰–3⁰ п. 134), а потом — что даёт замена фигуры $F^{\ast }$ на равную ей $F_1$: равные фигуры совмещаются наложением, а при наложении параллельные прямые остаются параллельными, пересекающиеся — пересекающимися, углы не меняются.

а) F — трапеция:

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD\parallel BC$; боковые стороны $AB$ и $CD$ не параллельны. Гомотетия с центром $O$ переводит её в четырёхугольник $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ (теорема п. 134).

1) По свойству 1⁰ образ каждой прямой параллелен ей самой (или совпадает с ней, если прямая проходит через $O$): $A_1{D}_1\parallel AD$, $B_1{C}_1\parallel BC$, $A_1{B}_1\parallel AB$, $C_1{D}_1\parallel CD$. Так как $AD\parallel BC$, то $A_1{D}_1\parallel B_1{C}_1$ (две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой; прямые $A_1{D}_1$ и $B_1{C}_1$ различны, так как гомотетия — взаимно однозначное преобразование).

2) Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются, поэтому и параллельные им прямые $A_1{B}_1$ и $C_1{D}_1$ пересекаются: $A_1{B}_1\nparallel C_1{D}_1$.

3) У четырёхугольника $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ две стороны параллельны, две другие — нет. Это трапеция. Фигура $F_1$ равна ей, поэтому у $F_1$ тоже ровно одна пара параллельных сторон — $F_1$ — трапеция (с основаниями, сходственными основаниям данной).

б) F — пара пересекающихся под углом $30^{\circ }$ прямых:

Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $S$ под углом $30^{\circ }$.

1) При гомотетии каждая прямая переходит в прямую (свойство 1⁰): $a\to a_1$, $b\to b_1$, причём $a_1\parallel a$ (или $a_1=a$), $b_1\parallel b$ (или $b_1=b$).

2) Точка $S$ принадлежит обеим прямым, значит, её образ $S_1$ принадлежит и $a_1$, и $b_1$: прямые $a_1$ и $b_1$ пересекаются в точке $S_1$.

3) Угол между $a_1$ и $b_1$ равен углу между $a$ и $b$: стороны этих углов соответственно параллельны (или совпадают), а при гомотетии угол переходит в равный ему угол (п. 134). Значит, $F^{\ast }$ — пара прямых, пересекающихся под углом $30^{\circ }$.

4) Фигура $F_1$ равна $F^{\ast }$, поэтому $F_1$ — тоже пара пересекающихся прямых, угол между ними равен $30^{\circ }$.