№1319. Пусть при гомотетии с треугольник переходит в треугольник , а параллелограмм — в параллелограмм . Можно ли утверждать, что и ? При утвердительном ответе найдите коэффициент подобия.
Дано:
гомотетия с коэффициентом
(параллелограммы)
Выяснить:
подобны ли эти фигуры
коэффициент подобия
Решение:
По теореме п. 134 при гомотетии с коэффициентом многоугольник переходит в подобный ему многоугольник, причём коэффициент подобия равен . Для нашего случая это означает следующее:
1) Треугольник и параллелограмм — многоугольники, поэтому их образы при гомотетии подобны самим фигурам: и .
2) Почему это так: по свойству 2⁰ (п. 134) расстояния между точками умножаются на , то есть , , — стороны пропорциональны, а при гомотетии угол переходит в равный ему угол — соответственные углы равны. Это и есть определение подобных многоугольников (п. 131).
3) Знак коэффициента на подобие не влияет: при образ каждой точки лежит на продолжении луча за центр (треугольник и параллелограмм «переворачиваются»), но все расстояния увеличиваются ровно в раз.
4) Коэффициент подобия равен
Ответ: да, и ; коэффициент подобия .
