Номер 1321 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

центр гомотетии $O$

соответственные точки $A$ и $A_{1}$

точка $M$

Построить:

точка $M_{1}$ — образ точки $M$

Анализ:

Пусть $M_{1}$ — искомая точка. По определению гомотетии (п. 133) $M_{1}$ лежит на прямой $OM$ . Чтобы найти её положение на этой прямой, используем соответственные точки $A$ и $A_{1}$ .

Случай 1. Точка $M$ не лежит на прямой $A A_{1}$ (рис. 403, б):

Чертёж к задаче 1321 — центр O, соответственные точки A, A1, точка M и построенная точка M1: прямая A1M1 параллельна AM

1) Проводим прямую $OM$ : на ней лежит $M_{1}$ .

2) Прямая $A M$ не проходит через центр $O$ (иначе $M$ лежала бы на прямой $O A$ = $A A_{1}$ ). По свойству 1⁰ п. 134 она переходит в параллельную ей прямую, а эта прямая проходит через образы точек $A$ и $M$ , то есть через $A_{1}$ и $M_{1}$ . Значит, $A_{1} M_{1} ∥ A M$ .

3) Через точку $A_{1}$ проводим прямую, параллельную $A M$ . Она пересекает прямую $OM$ (прямые $OM$ и $A M$ не параллельны, поэтому $OM$ не параллельна и прямой, проведённой параллельно $A M$ ) в единственной точке — это и есть искомая точка $M_{1}$ .

Проверка: по теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $O A M$ и $O A_{1} M_{1}$ при $A_{1} M_{1} ∥ A M$ ) $\frac{O M _{1}}{OM} = \frac{O A _{1}}{O A}$ , и $M_{1}$ расположена относительно $O$ так же, как $A_{1}$ относительно $A$ — то есть $O M_{1} = k \cdot OM$ с тем же $k$ , что и для пары $A$ , $A_{1}$ .

Случай 2. Точка $M$ лежит на прямой $A A_{1}$ (рис. 403, в):

Чертёж к задаче 1321 — точка M на прямой OA: через вспомогательную точку B построены B1 и затем M1

Если $M = O$ , то $M_{1} = O$ — центр гомотетии неподвижен. Пусть $M \neq = O$ . Теперь прямая $A M$ совпадает с прямой $O A$ , проходит через $O$ и переходит в себя — построение случая 1 не определяет точку, поэтому берём вспомогательную точку.

1) Отметим произвольную точку $B$ , не лежащую на прямой $O A$ , и построим по способу случая 1 её образ $B_{1}$ : на прямой $OB$ это точка, для которой $A_{1} B_{1} ∥ A B$ .

2) Теперь $B$ и $B_{1}$ — тоже соответственные точки заданной гомотетии, а точка $M$ не лежит на прямой $B B_{1}$ (эта прямая — $OB$ , а $M$ лежит на $O A$ и не совпадает с $O$ ). Применим к паре $B$ , $B_{1}$ случай 1.

3) Прямая $BM$ переходит в параллельную ей прямую, проходящую через $B_{1}$ . Проводим через $B_{1}$ прямую, параллельную $BM$ ; её точка пересечения с прямой $OM$ (то есть $O A$ ) — искомая $M_{1}$ .

Ответ: точка $M_{1}$ — пересечение прямой $OM$ с прямой, проведённой через $A_{1}$ параллельно $A M$ (если $M$ не лежит на $A A_{1}$ ); если $M$ лежит на $A A_{1}$ , то через вспомогательную пару $B$ , $B_{1}$ : $M_{1}$ — пересечение прямой $OM$ с прямой, проведённой через $B_{1}$ параллельно $BM$ .

Номер 1321 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели