Номер 1322 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Построение:

Для определённости точку $O$ берём так, чтобы она не лежала ни на одной из прямых $AB,BC,CD,DA$, а точку $A_1$ — на продолжении луча $AO$ за точку $O$ с $O{A}_1=2OA$ (гомотетия с коэффициентом $k=-2$). Любое другое положение $A_1$ на прямой $OA$ даёт построение по тем же шагам.

1) Проводим прямые $OB$, $OC$, $OD$. Прямая, проходящая через центр, переходит в себя (свойство 1⁰ п. 134), поэтому $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на прямых $OB$, $OC$, $OD$ соответственно.

2) Прямая $AB$ не проходит через $O$, поэтому переходит в параллельную ей прямую, проходящую через образ $A_1$ точки $A$. Проводим через $A_1$ прямую, параллельную $AB$; в пересечении с прямой $OB$ получаем точку $B_1$ — образ $B$.

3) Так же через $B_1$ проводим прямую, параллельную $BC$: она пересекает прямую $OC$ в точке $C_1$. Через $C_1$ проводим прямую, параллельную $CD$: она пересекает прямую $OD$ в точке $D_1$.

4) Соединяем $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$.

Почему $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ — параллелограмм:

по построению $A_1{B}_1\parallel AB$, $B_1{C}_1\parallel BC$, $C_1{D}_1\parallel CD$, а прямая $D_1{A}_1$ — образ прямой $DA$, поэтому $D_1{A}_1\parallel DA$ (свойство 1⁰). Так как в параллелограмме $AB\parallel CD$ и $BC\parallel DA$, то $A_1{B}_1\parallel C_1{D}_1$ и $B_1{C}_1\parallel D_1{A}_1$: противоположные стороны четырёхугольника $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ попарно параллельны. (Совпадение $D_1$, найденной по $CD$, с точкой пересечения прямых $OD$ и $D_1{A}_1$ — проверка точности построения.) По теореме п. 134 он подобен $ABCD$ с коэффициентом $|k|=2$: $A_1{B}_1=2AB$, $B_1{C}_1=2BC$, углы те же.