Номер 1324 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Идея:

По свойству 3⁰ (п. 134) при гомотетии с коэффициентом $k$ окружность с центром $C$ и радиусом $r$ переходит в окружность с центром $C_1$ и радиусом $|k|r$, где $C_1$ — образ точки $C$: $\overrightarrow{O{C}_1}=k\cdot \overrightarrow{OC}$. Значит, во всех случаях нужно построить $C_1$ и провести окружность радиуса $|k|r$.

а) $O$ на окружности, $k=\frac{1}{2}$:

1) Так как $O$ лежит на данной окружности, $OC=r$.

2) $C_1$ лежит на луче $OC$, $O{C}_1=\frac{1}{2}OC=\frac{r}{2}$: $C_1$ — середина отрезка $OC$ (строим серединным перпендикуляром или делением отрезка пополам).

3) Радиус образа равен $\frac{r}{2}$. Проводим окружность с центром $C_1$ и радиусом $C_{1}O$. Она проходит через $O$ (центр гомотетии неподвижен и принадлежит данной окружности), то есть это окружность, построенная на отрезке $OC$ как на диаметре. Она касается данной окружности изнутри в точке $O$.

б) $O$ на окружности, $k=-\frac{1}{2}$:

1) $OC=r$. Так как $k<0$, точка $C_1$ лежит на продолжении луча $CO$ за точку $O$, причём $O{C}_1=\frac{1}{2}OC=\frac{r}{2}$.

2) Радиус образа $|k|r=\frac{r}{2}$, поэтому $O{C}_1$ равно радиусу, и окружность с центром $C_1$ и радиусом $C_{1}O$ проходит через $O$. Расстояние между центрами $C{C}_1=r+\frac{r}{2}$ равно сумме радиусов: окружности касаются внешним образом в точке $O$.

в) $O$ не на окружности, $k=3$:

1) $C_1$ лежит на луче $OC$, $O{C}_1=3OC$ (от $O$ циркулем откладываем отрезок $OC$ три раза подряд).

2) Радиус образа $3r$ (откладываем $r$ три раза). Проводим окружность с центром $C_1$ и радиусом $3r$. Расстояние между центрами $C{C}_1=2OC$. Так как $O$ вне данной окружности, $OC>r$, и $C{C}_1>2r$ — окружности не имеют общих точек (на рисунке они расположены отдельно).