Номер 1327 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1327. Пользуясь теорией об отрезках пересекающихся хорд, докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Дано:

окружность, $A B$ — диаметр

$M$ — точка окружности

$M H ⊥ A B$ , $H \in A B$

Доказать:

$M H^{2} = A H \cdot H B$ , то есть $\frac{A H}{M H} = \frac{M H}{H B}$

Чертёж к задаче 1327 — окружность, диаметр AB, перпендикуляр MH к диаметру и продолжение MH до второй точки M1 окружности

Доказательство:

Если $M$ совпадает с $A$ или $B$ , то $M H = 0$ и $A H \cdot H B = 0$ — равенство верно. Пусть $M$ — другая точка окружности.

1) Продолжим перпендикуляр $M H$ до пересечения с окружностью во второй точке $M_{1}$ . Получим хорду $M M_{1}$ , перпендикулярную диаметру $A B$ .

2) Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам: $M H = H M_{1}$ . (Если $H \neq = O$ , то треугольник $OM M_{1}$ равнобедренный, $O H$ — его высота, а значит, и медиана; если $H = O$ , то $M M_{1}$ — диаметр, и точка $O$ — его середина.)

3) Хорды $A B$ и $M M_{1}$ пересекаются в точке $H$ . По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (п. 136)

A H \cdot H B = M H \cdot H M_{1} = M H \cdot M H = M H^{2}

4) Равенство $M H^{2} = A H \cdot H B$ равносильно пропорции $\frac{A H}{M H} = \frac{M H}{H B}$ : перпендикуляр $M H$ — среднее пропорциональное для отрезков $A H$ и $H B$ , то есть $M H = A H \cdot H B$ .

Ответ: что и требовалось доказать.

Номер 1327 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели