Номер 1328 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ , $A B = 6$

$CM = 4$ — медиана, $M$ — середина $A B$

$ω_{1}$ проходит через $C$ и касается $A B$ в точке $A$

$ω_{2}$ проходит через $C$ и касается $A B$ в точке $B$

Найти:

длина общей хорды $ω_{1}$ и $ω_{2}$

Чертёж к задаче 1328 — треугольник ABC, медиана CM и две окружности, касающиеся AB в точках A и B и проходящие через C; общая хорда CD

Решение:

Обозначим окружности $ω_{1}$ (касается $A B$ в $A$ ) и $ω_{2}$ (касается $A B$ в $B$ ). Так как $M$ — середина $A B$ , $M A = MB = 3$ , а $MC = 4$ .

1) Точка $M$ лежит на касательной $A B$ к $ω_{1}$ и отлична от точки касания, значит, $M$ — внешняя точка для $ω_{1}$ , и $M A$ — отрезок касательной. Прямая $MC$ проходит через точку $C$ окружности $ω_{1}$ , но не касается её: касательная из $M$ имела бы длину $MC = 4 \neq = 3 = M A$ (отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны). Значит, прямая $MC$ — секущая, и она пересекает $ω_{1}$ ещё в одной точке $D_{1}$ , лежащей на луче $MC$ (точка $M$ вне окружности).

2) По теореме о квадрате отрезка касательной (п. 136)

MC \cdot M D_{1} = M A^{2} = 9, M D_{1} = \frac{9}{4}

3) Те же рассуждения для $ω_{2}$ и касательной $MB$ : луч $MC$ пересекает $ω_{2}$ в точке $D_{2}$ , и

MC \cdot M D_{2} = M B^{2} = 9, M D_{2} = \frac{9}{4}

4) Точки $D_{1}$ и $D_{2}$ лежат на одном луче от точки $M$ на одном расстоянии $\frac{9}{4}$ , поэтому они совпадают: $D_{1} = D_{2} = D$ . Точка $D$ принадлежит обеим окружностям и отлична от $C$ ( $M D = \frac{9}{4} \neq = 4 = MC$ ). Две окружности имеют не более двух общих точек, значит, $C D$ — их общая хорда.

5) $M D = \frac{9}{4} < 4 = MC$ , поэтому $D$ лежит между $M$ и $C$ :

C D = MC - M D = 4 - \frac{9}{4} = \frac{7}{4} = 1, 75

Ответ: $C D = \frac{7}{4}$ (то есть 1,75).

Номер 1328 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели