Номер 1330 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1330. Через точку $M$ — внешнюю относительно окружности с центром $O$ и радиусом $R$ , проведена секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ . Докажите, что $M A \cdot MB = M O^{2} - R^{2}$ .

Дано:

окружность с центром $O$ и радиусом $R$

$M$ вне окружности

секущая $M A B$

Доказать:

$M A \cdot MB = M O^{2} - R^{2}$

Чертёж к задаче 1330 — окружность с центром O, внешняя точка M, секущая MAB, касательная MK и радиус OK

Доказательство:

1) Проведём из внешней точки $M$ касательную $M K$ ( $K$ — точка касания). По теореме о квадрате отрезка касательной (п. 136) для касательной $M K$ и секущей $M A B$ :

M K^{2} = M A \cdot MB

2) Радиус $O K$ , проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $O K ⊥ M K$ . Треугольник $M K O$ прямоугольный с гипотенузой $MO$ . По теореме Пифагора

M O^{2} = M K^{2} + O K^{2} = M K^{2} + R^{2}, M K^{2} = M O^{2} - R^{2}

3) Из пунктов 1 и 2 получаем

M A \cdot MB = M K^{2} = M O^{2} - R^{2}

Ответ: что и требовалось доказать.

Номер 1330 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели