Номер 1331 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1331. Через точку $M$ — внутреннюю относительно окружности с центром $O$ и радиусом $R$ , проходит хорда $A B$ . Докажите, что $M A \cdot MB = R^{2} - M O^{2}$ .

Дано:

окружность с центром $O$ и радиусом $R$

$M$ внутри окружности

хорда $A B$ проходит через $M$

Доказать:

$M A \cdot MB = R^{2} - M O^{2}$

Чертёж к задаче 1331 — окружность с центром O, внутренняя точка M, хорда AB через M и диаметр CD, проходящий через M

Доказательство:

Если $M = O$ , то $A B$ — диаметр, $M A = MB = R$ и $M A \cdot MB = R^{2} = R^{2} - 0 = R^{2} - M O^{2}$ .

Пусть $M \neq = O$ . Проведём через $M$ и центр $O$ диаметр $C D$ ( $C$ лежит на луче $OM$ ).

1) Так как $M$ внутри окружности, $MO < R$ , и $M$ лежит на диаметре между $C$ и $O$ :

MC = OC - OM = R - MO, M D = MO + O D = R + MO

2) Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $M$ . По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (п. 136)

M A \cdot MB = MC \cdot M D = (R - MO) (R + MO) = R^{2} - M O^{2}

Ответ: что и требовалось доказать.

Номер 1331 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели