Номер 1334 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Идея:

Применим общий подход п. 137: сначала построим квадрат, который удовлетворяет только части требований (три вершины на своих местах, а четвёртая — где получится), а затем гомотетией с центром $A$ преобразуем его в искомый.

Построение:

1) На стороне $AB$ отметим произвольную точку $S^{\prime }$ и опустим перпендикуляр $S^{\prime }{P}^{\prime }$ на $AC$.

2) На луче $P^{\prime }C$ отложим $P^{\prime }{Q}^{\prime }=P^{\prime }{S}^{\prime }$ и построим квадрат $P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }{S}^{\prime }$ (вершина $R^{\prime }$ — по ту же сторону от $AC$, что и $B$).

3) Проведём луч $A{R}^{\prime }$. Точка $R^{\prime }$ лежит внутри угла $BAC$, поэтому луч пересекает сторону $BC$ в некоторой точке $R$.

4) Опустим перпендикуляр $RQ$ на $AC$; через $R$ проведём прямую, параллельную $AC$, до пересечения со стороной $AB$ в точке $S$; опустим перпендикуляр $SP$ на $AC$. Четырёхугольник $PQRS$ — искомый.

Доказательство:

1) $SP\perp AC$, $RQ\perp AC$, $SR\parallel AC$, поэтому $PQRS$ — прямоугольник.

2) $SR\parallel S^{\prime }{R}^{\prime }$ (обе параллельны $AC$), поэтому $△ASR\sim △A{S}^{\prime }{R}^{\prime }$ (общий угол $A$, соответственные углы при параллельных прямых). Аналогично $RQ\parallel R^{\prime }{Q}^{\prime }$ (обе перпендикулярны $AC$), поэтому $△ARQ\sim △A{R}^{\prime }{Q}^{\prime }$. Значит,

Так как $S^{\prime }{R}^{\prime }=R^{\prime }{Q}^{\prime }$ (стороны квадрата), то $SR=RQ$: прямоугольник $PQRS$ со смежными равными сторонами — квадрат.

3) Углы $A$ и $C$ острые, поэтому основания перпендикуляров $P$ и $Q$, опущенных из точек сторон $AB$ и $BC$, лежат на отрезке $AC$. Итак, $P,Q\in AC$, $R\in BC$, $S\in BA$.

Иначе говоря, квадрат $PQRS$ получен из квадрата $P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }{S}^{\prime }$ гомотетией с центром $A$ и коэффициентом $k=\frac{AR}{A{R}^{\prime }}$. Все вспомогательные квадраты при разных $S^{\prime }$ гомотетичны друг другу с центром $A$, их вершины $R^{\prime }$ лежат на одном луче, поэтому задача имеет единственное решение.