Номер 1335 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Идея:

Метод решения задачи 2 п. 137: сначала строим фигуру нужной формы, удовлетворяющую части условий, а затем гомотетией переводим её в искомую. Центр гомотетии — вершина $A$: лучи $AB$ и $AC$ при такой гомотетии переходят в себя.

Построение:

1) Проведём прямую, параллельную $AC$ и удалённую от неё на $P_1{S}_1$ (по ту же сторону, что и $B$); она пересекает сторону $AB$ в точке $S^{\prime }$. (Можно взять и любую точку $S^{\prime }\in AB$, а сторону $P^{\prime }{Q}^{\prime }$ найти как четвёртый пропорциональный отрезок.)

2) Опустим перпендикуляр $S^{\prime }{P}^{\prime }$ на $AC$ ($S^{\prime }{P}^{\prime }=P_1{S}_1$), на луче $P^{\prime }C$ отложим $P^{\prime }{Q}^{\prime }=P_1{Q}_1$ и достроим прямоугольник $P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }{S}^{\prime }$. Он равен $P_1{Q}_1{R}_1{S}_1$.

3) Луч $A{R}^{\prime }$ пересекает сторону $BC$ в точке $R$.

4) $RQ\perp AC$, через $R$ — прямая, параллельная $AC$, до пересечения с $AB$ в точке $S$, $SP\perp AC$. Прямоугольник $PQRS$ — искомый.

Доказательство:

Как и в задаче 1334, $△ASR\sim △A{S}^{\prime }{R}^{\prime }$ и $△ARQ\sim △A{R}^{\prime }{Q}^{\prime }$, поэтому

$PQRS$ — прямоугольник ($SP\perp AC$, $RQ\perp AC$, $SR\parallel AC$). У прямоугольников $PQRS$ и $P_1{Q}_1{R}_1{S}_1$ все углы прямые, а смежные стороны пропорциональны, значит, пропорциональны все сходственные стороны (противоположные стороны равны) — прямоугольники подобны. Это и есть образ $P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }{S}^{\prime }$ при гомотетии с центром $A$ и $k=\frac{AR}{A{R}^{\prime }}$.

Замечание. Основания перпендикуляров $P$ и $Q$ попадают на отрезок $AC$, если углы $A$ и $C$ не тупые. Если один из них тупой, основание перпендикуляра из точки прилежащей стороны лежит на продолжении $AC$, и вписать прямоугольник требуемым образом нельзя.