№1337. Дана прямая и точка , не лежащая на ней. Используя гомотетию с центром в точке , докажите, что множество середин всех отрезков , где — любая точка прямой , есть прямая, параллельная прямой .
Дано:
прямая , точка
точка пробегает прямую
— середина
Доказать:
множество точек — прямая, параллельная
Доказательство:
1) Рассмотрим гомотетию с центром и коэффициентом . Если — середина , то лежит на луче и , то есть : — образ точки .
2) Значит, искомое множество — это образ прямой при этой гомотетии: точка принадлежит множеству тогда и только тогда, когда — образ некоторой точки .
3) Прямая не проходит через центр , поэтому по свойству 1⁰ п. 134 она переходит в прямую , параллельную . Образы всех точек заполняют всю прямую : для любой точки точка с лежит на (её переводит на обратная гомотетия), и — её образ.
4) Итак, множество точек есть прямая , что и требовалось доказать.
Ответ: множество середин отрезков — прямая , параллельная (образ при гомотетии с центром и ).
