Номер 1336 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Идея:

Метод решения задачи 2 п. 137. Требование «$A\in QR$» временно отбросим и построим какой-нибудь треугольник $P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }$, подобный $P_1{Q}_1{R}_1$, с вершинами на сторонах угла. Гомотетия с центром $O$ и положительным коэффициентом переводит каждый из лучей $h$ и $k$ в себя, поэтому её можно подобрать так, чтобы образ стороны $Q^{\prime }{R}^{\prime }$ прошёл через $A$.

Построение:

1) На луче $h$ возьмём произвольную точку $P^{\prime }$ и построим угол с вершиной $P^{\prime }$, равный $\angle P_1$, одна сторона которого идёт по лучу $h$ (от точки $O$), а другая пересекает луч $k$ в точке $R^{\prime }$.

2) Построим угол с вершиной $R^{\prime }$ и стороной $R^{\prime }{P}^{\prime }$, равный $\angle R_1$; его вторая сторона пересекает луч $h$ в точке $Q^{\prime }$. В треугольнике $P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }$ два угла равны углам треугольника $P_1{Q}_1{R}_1$, значит, $△P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }\sim △P_1{Q}_1{R}_1$.

3) Проведём луч $OA$. Он лежит внутри угла $hk$ и поэтому пересекает отрезок $Q^{\prime }{R}^{\prime }$ (его концы лежат на разных сторонах угла) в точке $A^{\prime }$.

4) Рассмотрим гомотетию с центром $O$ и коэффициентом $k=\frac{OA}{O{A}^{\prime }}$: она переводит $A^{\prime }$ в $A$. Построим образы вершин: через $A$ проведём прямую, параллельную $Q^{\prime }{R}^{\prime }$, — она пересекает $h$ в точке $Q$ и $k$ в точке $R$; через $R$ проведём прямую, параллельную $R^{\prime }{P}^{\prime }$, — она пересекает $h$ в точке $P$. Треугольник $PQR$ — искомый.

Доказательство:

1) При гомотетии с центром $O$ и $k>0$ лучи $h$ и $k$ переходят в себя, а отрезок $Q^{\prime }{R}^{\prime }$ — в параллельный ему отрезок. Поэтому образы точек $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$, $R^{\prime }$ — это точки $P$, $Q$, $R$ из п. 4: $P,Q\in h$, $R\in k$.

2) Точка $A^{\prime }\in Q^{\prime }{R}^{\prime }$ переходит в точку $A$, значит, $A$ лежит на отрезке $QR$.

3) При гомотетии треугольник переходит в подобный ему (п. 134): $△PQR\sim △P^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }\sim △P_1{Q}_1{R}_1$.

Замечание. Построение возможно, если стороны построенных в п. 1 и 2 углов действительно пересекают лучи $k$ и $h$. Если в п. 1 направить сторону $P^{\prime }{Q}^{\prime }$ к вершине $O$, можно получить ещё одно решение.