Номер 1338 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1338. Даны прямая $l$ и точка $O$ , не лежащая на ней. Пусть $X$ — любая точка прямой $l$ . Используя гомотетию с центром в точке $O$ , докажите, что множество точек, делящих отрезок $OX$ в отношении $1 : 3$ , считая от точки $O$ , есть прямая, параллельная прямой $l$ .

Дано:

прямая $l$ , точка $O \in / l$

точка $X$ пробегает прямую $l$

$O Y : Y X = 1 : 3$

Доказать:

множество точек $Y$ — прямая, параллельная $l$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1338 — прямая l, точка O, отрезки OX и прямая l1, на которой лежат точки Y

1) Рассмотрим гомотетию с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$ . Если $Y$ делит $OX$ в отношении $O Y : Y X = 1 : 3$ , то $Y$ лежит на отрезке $OX$ и $O Y = \frac{1}{1 + 3} OX = \frac{1}{4} OX$ , то есть $O Y = \frac{1}{4} OX$ : $Y$ — образ точки $X$ .

2) Значит, искомое множество — это образ прямой $l$ при этой гомотетии: точка $Y$ принадлежит множеству тогда и только тогда, когда $Y$ — образ некоторой точки $X \in l$ .

3) Прямая $l$ не проходит через центр $O$ , поэтому по свойству 1⁰ п. 134 она переходит в прямую $l_{1}$ , параллельную $l$ . Образы всех точек $l$ заполняют всю прямую $l_{1}$ : для любой точки $Y \in l_{1}$ точка $X$ с $OX = 4 O Y$ лежит на $l$ (её переводит на $l$ обратная гомотетия), и $Y$ — её образ.

4) Итак, множество точек $Y$ есть прямая $l_{1} ∥ l$ , что и требовалось доказать.

Ответ: множество точек — прямая $l_{1}$ , параллельная $l$ (образ $l$ при гомотетии с центром $O$ и $k = \frac{1}{4}$ ).

Номер 1338 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели