Номер 1339 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Способ решения задачи 1 п. 137 (там — середины хорд, здесь — точки $1:3$).

1) Пусть $AX$ — хорда, $Y$ — точка хорды, для которой $AY:YX=1:3$. Тогда $Y$ лежит на отрезке $AX$ и $AY=\frac{1}{4}AX$, то есть $\overrightarrow{AY}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AX}$: $Y$ — образ точки $X$ при гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $k=\frac{1}{4}$.

2) Когда $X$ пробегает окружность, точка $Y$ пробегает образ этой окружности. По свойству 3⁰ п. 134 окружность с центром $O$ и радиусом $R$ переходит в окружность с центром $O_1$ — образом точки $O$ — и радиусом $\frac{1}{4}R$:

3) Обратно, любая точка $Y$ этой окружности (кроме $A$) — образ точки $X$ исходной окружности, для которой $\overrightarrow{AX}=4\overrightarrow{AY}$; $AX$ — хорда, и $Y$ делит её в отношении $1:3$.

4) Центр $O_1$ лежит на радиусе $OA$ и делит его в отношении $A{O}_1:O_{1}O=1:3$ (считая от $A$). Окружность проходит через $A$ ($A{O}_1=\frac{1}{4}R=r$) и касается данной окружности в этой точке. Сама точка $A$ — образ точки $A$, хорды «$AA$» не существует, так что, строго говоря, из окружности выпадает одна точка $A$ (в учебнике в задаче 1 п. 137 эту оговорку не делают).

Итак, множество точек — окружность, что и требовалось доказать.