Номер 1340 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1340. Пусть $M$ — точка, делящая медиану $A A_{1}$ треугольника $A BC$ в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, $B_{1}$ — середина стороны $A C$ треугольника. Докажите, не используя свойство медиан, что при гомотетии с центром в точке $M$ и коэффициентом $k = - \frac{1}{2}$ отрезок $A B$ переходит в отрезок $A_{1} B_{1}$ , причём точка $A$ переходит в точку $A_{1}$ , а точка $B$ — в точку $B_{1}$ .

Дано:

$△ A BC$ , $A A_{1}$ — медиана

$M \in A A_{1}$ , $A M : M A_{1} = 2 : 1$

$B_{1}$ — середина $A C$

гомотетия с центром $M$ , $k = - \frac{1}{2}$

Доказать:

$A \to A_{1}$ , $B \to B_{1}$ , $A B \to A_{1} B_{1}$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1340 — треугольник ABC, медиана AA1, точка M на ней, средняя линия A1B1 параллельна AB

Обозначим гомотетию с центром $M$ и $k = - \frac{1}{2}$ через $H$ : $H$ переводит точку $X$ в точку $X^{'}$ , для которой $M X^{'} = - \frac{1}{2} MX$ .

1) Точка $M$ лежит на отрезке $A A_{1}$ и $M A_{1} = \frac{1}{2} M A$ , векторы $M A$ и $M A_{1}$ противоположно направлены, поэтому

M A_{1} = - \frac{1}{2} M A \Rightarrow H (A) = A_{1}

2) Пусть $B^{'} = H (B)$ , то есть $M B^{'} = - \frac{1}{2} MB$ . Тогда

A_{1} B^{'} = M B^{'} - M A_{1} = - \frac{1}{2} MB + \frac{1}{2} M A = - \frac{1}{2} (MB - M A) = - \frac{1}{2} A B

3) $A_{1}$ и $B_{1}$ — середины сторон $BC$ и $A C$ , поэтому

A_{1} B_{1} = A_{1} C + C B_{1} = \frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} C A = \frac{1}{2} B A = - \frac{1}{2} A B

(это векторная запись теоремы о средней линии; свойство медиан не использовалось).

4) Из п. 2 и 3: $A_{1} B^{'} = A_{1} B_{1}$ , значит, $B^{'} = B_{1}$ , то есть $H (B) = B_{1}$ .

5) При гомотетии отрезок переходит в отрезок, концы которого — образы концов данного. Поэтому отрезок $A B$ переходит в отрезок $A_{1} B_{1}$ , причём $A \to A_{1}$ , $B \to B_{1}$ , что и требовалось доказать.

Ответ: $A \to A_{1}$ , $B \to B_{1}$ , отрезок $A B$ переходит в отрезок $A_{1} B_{1}$ — доказано.

Номер 1340 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели