Номер 1341 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

1) Пусть $M$ — точка медианы $A{A}_1$, для которой $AM:M{A}_1=2:1$, и $H$ — гомотетия с центром $M$ и $k=-\frac{1}{2}$.

2) По задаче 1340 $H(B)=B_1$, то есть $\overrightarrow{M{B}_1}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}$. Значит, точки $B$, $M$, $B_1$ лежат на одной прямой, $M$ — между $B$ и $B_1$ (векторы противоположно направлены) и $M{B}_1=\frac{1}{2}MB$. Итак, медиана $B{B}_1$ проходит через $M$ и $BM:M{B}_1=2:1$.

3) Задача 1340 верна для любой стороны, выходящей из $A$: если вместо $B$ и $B_1$ взять $C$ и середину $C_1$ стороны $AB$, те же выкладки дают

и $H(C)=C_1$ (центр и коэффициент гомотетии — те же, ведь точка $M$ определена только через медиану $A{A}_1$). Значит, медиана $C{C}_1$ тоже проходит через $M$ и $CM:M{C}_1=2:1$.

4) По выбору точки $M$ медиана $A{A}_1$ проходит через $M$ и $AM:M{A}_1=2:1$. Итак, все три медианы пересекаются в одной точке $M$, которая делит каждую из них в отношении $2:1$, считая от вершины, что и требовалось доказать.