Номер 1342 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1342. При данном движении каждая из двух точек $A$ и $B$ отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой $A B$ отображается на себя.

Дано:

движение $g$ : $g (A) = A$ , $g (B) = B$

$M \in A B$

Доказать:

$g (M) = M$

Доказательство:

Пусть $M$ — произвольная точка прямой $A B$ , $M^{'} = g (M)$ . Движение сохраняет расстояния, а $A$ и $B$ переходят в себя, поэтому

A M^{'} = A M, B M^{'} = BM

Допустим, что $M^{'} \neq = M$ . Точка $A$ равноудалена от $M$ и $M^{'}$ , значит, лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $M M^{'}$ . Так же и $B \in m$ . Две различные точки $A$ и $B$ определяют прямую, поэтому $A B = m$ .

Но $M \in A B = m$ , то есть $M$ тоже равноудалена от концов отрезка $M M^{'}$ : $MM = M M^{'}$ , откуда $M M^{'} = 0$ и $M^{'} = M$ — противоречие. Значит, $M^{'} = M$ , что и требовалось доказать.

Наглядно:

Чертёж к задаче 1342 — прямая AB, точка M на ней и окружности с центрами A и B, проходящие через M и касающиеся в точке M

Точка $M^{'}$ лежит одновременно на окружности с центром $A$ радиуса $A M$ и на окружности с центром $B$ радиуса $BM$ . Центры и точка $M$ лежат на одной прямой, поэтому эти окружности касаются в точке $M$ — другой общей точки у них нет.

Ответ: любая точка прямой $A B$ отображается на себя — доказано.

Номер 1342 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели