Номер 1343 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

Пусть $X$ — произвольная точка плоскости, $X^{\prime }=g(X)$. Движение сохраняет расстояния, вершины на месте, поэтому

Допустим, что $X^{\prime }\ne X$. Тогда каждая из точек $A$, $B$, $C$ равноудалена от концов отрезка $X{X}^{\prime }$ и поэтому лежит на серединном перпендикуляре к $X{X}^{\prime }$. Значит, $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, а это невозможно: они — вершины треугольника. Следовательно, $X^{\prime }=X$, что и требовалось доказать.

Другой способ (через задачу 1248):

Тождественное преобразование (каждая точка переходит в себя) — движение, и оно отображает $A$, $B$, $C$ в себя. По задаче 1248 существует не более одного движения, при котором $A$, $B$, $C$ переходят в $A$, $B$, $C$. Поэтому данное движение $g$ совпадает с тождественным: любая точка плоскости отображается на себя.