Номер 1349 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

квадрат $A BC D$ , $A B = a$ , $S = a^{2}$

Построить:

квадраты площадью а) $\frac{S}{4}$ ; б) $\frac{S}{9}$ ; в) $3 S$

Идея:

Любые два квадрата подобны. Если сторона нового квадрата равна $ka$ , то он подобен $A BC D$ с коэффициентом $k$ , а площади подобных фигур относятся как $k^{2}$ (п. 132):

S_{1} = k^{2} S

Поэтому нужно построить квадрат со стороной $ka$ , где $k^{2} = \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{9}$ , $3$ . Такой квадрат получается из $A BC D$ гомотетией с центром $A$ и коэффициентом $k$ .

а) $k^{2} = \frac{1}{4}$

Чертёж к задаче 1349 — квадрат ABCD и квадрат AMKN со стороной, равной половине AB

$k = \frac{1}{2}$ , сторона нового квадрата равна $\frac{a}{2}$ .

Построение. Отметим середины $M$ стороны $A B$ и $N$ стороны $A D$ и построим квадрат $A M K N$ на отрезках $A M$ и $A N$ (вершина $K$ — середина диагонали $A C$ ).

Доказательство. Сторона квадрата $A M K N$ равна $\frac{a}{2}$ , его площадь

(\frac{a}{2})^{2} = \frac{a ^{2}}{4} = \frac{S}{4}

б) $k^{2} = \frac{1}{9}$

Чертёж к задаче 1349 — квадрат ABCD, деление стороны AB на три равные части по теореме Фалеса и квадрат AB1C1D1

$k = \frac{1}{3}$ , сторона нового квадрата равна $\frac{a}{3}$ .

Построение. 1) Проведём луч из точки $A$ , не лежащий на прямой $A B$ , и отложим на нём три равных отрезка: $A T_{1} = T_{1} T_{2} = T_{2} T_{3}$ . 2) Проведём прямую $T_{3} B$ и параллельную ей прямую через $T_{1}$ ; она пересекает $A B$ в точке $B_{1}$ . По теореме Фалеса $A B_{1} = \frac{1}{3} A B$ . 3) Построим квадрат $A B_{1} C_{1} D_{1}$ (точка $D_{1}$ лежит на $A D$ , $A D_{1} = A B_{1}$ ).

Доказательство. Сторона квадрата $A B_{1} C_{1} D_{1}$ равна $\frac{a}{3}$ , его площадь

(\frac{a}{3})^{2} = \frac{a ^{2}}{9} = \frac{S}{9}

в) $k^{2} = 3$

Чертёж к задаче 1349 — квадрат ABCD, диагональ AC, перпендикуляр CE длиной a и большой квадрат AB1C1D1 со стороной AE

$k = 3$ , сторона нового квадрата равна $a 3$ .

Построение. 1) Проведём диагональ $A C$ : $A C = a 2$ . 2) В точке $C$ проведём перпендикуляр к $A C$ и отложим на нём отрезок $CE = A B = a$ . 3) Проведём дугу окружности с центром $A$ и радиусом $A E$ ; она пересекает лучи $A B$ и $A D$ в точках $B_{1}$ и $D_{1}$ . 4) Построим квадрат $A B_{1} C_{1} D_{1}$ .

Доказательство. По теореме Пифагора для треугольника $A CE$ (угол $C$ прямой):

A E^{2} = A C^{2} + C E^{2} = 2 a^{2} + a^{2} = 3 a^{2}, A E = a 3

Сторона квадрата $A B_{1} C_{1} D_{1}$ равна $A B_{1} = A E = a 3$ , его площадь

(a 3)^{2} = 3 a^{2} = 3 S

Все три квадрата получены из $A BC D$ гомотетией с центром $A$ и коэффициентами $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $3$ , то есть они подобны данному.

Ответ: а) квадрат со стороной $\frac{A B}{2}$ ; б) квадрат со стороной $\frac{A B}{3}$ ; в) квадрат со стороной $A B 3$ (гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $A B 2$ и $A B$ ).

Номер 1349 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели